Transformasi Geometri

Ada empat macam transformasi dasar dalam matematika, yaitu translasi (pergeseran), rotasi (perputaran), refleksi (pencerminan), dan dilatasi (perbesaran).

1. Translasi (pergeseran)
Secara gampangnya translasi merupakan suatu perubahan posisi yang diperoleh dengan cara menggeser.
2. Rotasi (perputaran)
Perubahan posisi dalam rotasi diperoleh dengan cara memutar obyek dengan mengacu pada pusat perputaran tertentu. Rotasi berbeda dengan translasi karena perubahan posisi pada translasi tidak mengacu pada suatu titik tertentu. Keistimewaan dari rotasi adalah jarak antara titik pusat dengan masing-masing bagian dari obyek yang diputar akan selalu tetap, seberapa jauh pun obyek itu diputar.
3. Refleksi (pencerminan)
Refleksi merupakan perubahan yang dilakukan dengan mencerminkan suatu obyek terhadap suatu garis (untuk dua dimensi) atau bidang (untuk tiga dimensi). Refleksi biasanya tidak hanya perubahan posisi, tetapi juga diiringi dengan perubahan bentuk.
4. Dilatasi (perbesaran)
Seperti halnya refleksi yang tidak hanya terpaku pada perubahan posisi, dilatasi menghasilkan suatu perubahan ukuran selain perubahan posisi. Dilatasi diperoleh dengan mengalikan suatu obyek dengan faktor pengali tertentu (bisa memperbesar ataupun memperkecil).

Transformasi Geometri

Ada empat macam transformasi dasar dalam matematika, yaitu translasi (pergeseran), rotasi (perputaran), refleksi (pencerminan), dan dilatasi (perbesaran).

1. Translasi (pergeseran)
Secara gampangnya translasi merupakan suatu perubahan posisi yang diperoleh dengan cara menggeser.
2. Rotasi (perputaran)
Perubahan posisi dalam rotasi diperoleh dengan cara memutar obyek dengan mengacu pada pusat perputaran tertentu. Rotasi berbeda dengan translasi karena perubahan posisi pada translasi tidak mengacu pada suatu titik tertentu. Keistimewaan dari rotasi adalah jarak antara titik pusat dengan masing-masing bagian dari obyek yang diputar akan selalu tetap, seberapa jauh pun obyek itu diputar.
3. Refleksi (pencerminan)
Refleksi merupakan perubahan yang dilakukan dengan mencerminkan suatu obyek terhadap suatu garis (untuk dua dimensi) atau bidang (untuk tiga dimensi). Refleksi biasanya tidak hanya perubahan posisi, tetapi juga diiringi dengan perubahan bentuk.
4. Dilatasi (perbesaran)
Seperti halnya refleksi yang tidak hanya terpaku pada perubahan posisi, dilatasi menghasilkan suatu perubahan ukuran selain perubahan posisi. Dilatasi diperoleh dengan mengalikan suatu obyek dengan faktor pengali tertentu (bisa memperbesar ataupun memperkecil).

Transformasi adalah suatu perpindaban/perubaban.

1. TRANSLASI (Pergeseran sejajar)
      Sifat:
1. Dua buah translasi berturut-turut é a ù diteruskan dengan
                                                ë b û
   dapat digantikan dengan é c ù translasi tunggal é a + c ù
                                    ë d û                       ë b + d û 
2. Pada suatu translasi setiap bangunnya tidak berubah.
   
2. REFLEKSI (Pencerminan terhadap garis)
   Ket. : Ciri khas suatu matriks Refleksi adalah determinannya = -1
   
   
   SIFAT-SIFAT

1. Dua refleksi berturut-turut terhadap sebuah garis merupakan suatu identitas, artinya yang direfleksikan tidak berpindah.
2. Pengerjaan dua refleksi terhadap dua sumbu yang sejajar, menghasilkan translasi (pergeseran) dengan sifat:
• Jarak bangun asli dengan bangun hasil sama dengan dua kali jarak kedua sumbu pencerminan.
• Arah translasi tegak lurus pada kedua sumbu sejajar, dari sumbu pertama ke sumbu kedua. Refleksi terhadap dua sumbu sejajar bersifat tidak komutatip.
3. Pengerjaaan dua refleksi terhadap dua sumbu yang saling tegak lurus, menghasilkaan rotasi (pemutaran) setengah lingkaran terhadap titik potong dari kedua sumbu pencerminan. Refleksi terhadap dua sumbu yang saling tegak lures bersifat komutatif.
4. Pengerjaan dua refleksi berurutan terhadap dua sumbu yang berpotongan akan menghasilkan rotasi (perputaran) yang bersifat:
• Titik potong kedua sumbu pencerminan merupakan pusat perputaran.
• Besar sudut perputaran sama dengan dua kali sudut antara kedua sumbu pencerminan.
• Arah perputaran sama dengan arah dari sumbu pertama ke sumbu kedua.
  
  
1. ROTASI (Perputaran dengan pusat 0)

2. Transformasi adalah suatu perpindaban/perubaban. TRANSLASI (Pergeseran sejajar) Matriks Perubahan Perubahan é a ù ë bû (x,y) ® (x+a, y+b) F(x,y) = 0 ® (x-a, y-b) = 0 Ket : x' = x + a ® x = x' - a y' = y + b ® y = y' -b Sifat: Dua buah translasi berturut-turut é a ù diteruskan dengan                                              ë b û dapat digantikan dengan é c ù translasi tunggal é a + c ù                                  ë d û                       ë b + d û  Pada suatu translasi setiap bangunnya tidak berubah. REFLEKSI (Pencerminan terhadap garis) Pencerminan terhadap Matriks Perubahan Titik Perubahan fungsi sumbu-x é 1 -0 ù ë 0 -1 û (x,y) ® (x,-y) F(x,y) = 0 ® F(x,-y) = 0 sumbu -y é -1 0 ù ë -0 1 û (x,y) ® (-x,y) F(x,y) = 0 ® F(-x,y) = 0 garis y = x é 0 1 ù ë 1 0 û (x,y) ® (y,x) F(x,y) = 0 ® F(y,x) = 0 garis y = -x é -0 -1 ù ë -1 -0 û (x,y) ® (-y,-x) F(x,y) = 0 ® F(-y,-x)= 0 Ket. : Ciri khas suatu matriks Refleksi adalah determinannya = -1 SIFAT-SIFAT Dua refleksi berturut-turut terhadap sebuah garis merupakan suatu identitas, artinya yang direfleksikan tidak berpindah. Pengerjaan dua refleksi terhadap dua sumbu yang sejajar, menghasilkan translasi (pergeseran) dengan sifat: Jarak bangun asli dengan bangun hasil sama dengan dua kali jarak kedua sumbu pencerminan. Arah translasi tegak lurus pada kedua sumbu sejajar, dari sumbu pertama ke sumbu kedua. Refleksi terhadap dua sumbu sejajar bersifat tidak komutatip. Pengerjaaan dua refleksi terhadap dua sumbu yang saling tegak lurus, menghasilkaan rotasi (pemutaran) setengah lingkaran terhadap titik potong dari kedua sumbu pencerminan. Refleksi terhadap dua sumbu yang saling tegak lures bersifat komutatif. Pengerjaan dua refleksi berurutan terhadap dua sumbu yang berpotongan akan menghasilkan rotasi (perputaran) yang bersifat: Titik potong kedua sumbu pencerminan merupakan pusat perputaran. Besar sudut perputaran sama dengan dua kali sudut antara kedua sumbu pencerminan. Arah perputaran sama dengan arah dari sumbu pertama ke sumbu kedua. ROTASI (Perputaran dengan pusat 0) rotasi matriks perubahan titik perubahan fungsi ½ p é0  -1ù ë1 -0 û (x,y) ® (-y,x) F(x,y) = 0 ® F(y,-x) = 0 p é-1  0ù ë1 -1 û (x,y) ® (-x,-y) F(x,y) = 0 ® F(-x,-y) = 0 3/2 p é0  -1ù ë-1 0 û (x,y) ® (y,-x) F(x,y) = 0 ® F(-y,x) = 0 q écosq -sinq ù ësinq  cosq û (x,y) ® (x cos q - y sinq, x sin q + y cos q) F(x,y) = 0 ® F(x cos q + y sin q, -x sin q + y cos q) = 0 Ket.: Ciri khas suatu matriks Rotasi adalah determinannya = 1 SIFAT-SIFAT Dua rotasi bertumt-turut mempakan rotasi lagi dengan sudut putar dsama dengan jumlah kedua sudut putar semula. Pada suatu rotasi, setiap bangun tidak berubah bentuknya. Catatan: Pada transformasi pergeseran (translasi), pencerminan (refleksi) dan perputaran (rotasi), tampak bahwa bentuk bayangan sama dan sebangun (kongruen) dengan bentuk aslinya. Transformasi jenis ini disebut transformasi isometri. DILATASI (Perbesaran terhadap pusat 0) Dilatasi Matriks Perubahan titik Perubahan fungsi (0,k) ék  0ù ë0  kû (x,y)®(kx,ky) F(x,y)=0®F(x/k,y/k) Ket.: (0, k) merupakan perbesaran atau pengecilan dengan tergantung dari nilai k. Jika A' adalah peta dari A, maka untuk: a. k > 1 ® A' terletak pada perpanjangan OA b. 0 < k < 1 ® A' terletak di antara O dan A c. k > 0 ® A' terletak pada perpanjangan AO TRANSFORMASI LINIER Ditentukan oleh matriks éa  bù                                 ëc  dû é x' ù = é a b ù é x ù ë y' û   ë c d û ë y û é x ù =    1        é a -b ù é x' ù ë y û   ad - bc     ë -c d û ë y' û  Perubahan Titik Perubahan Fungsi (x,y)®(ax+by, cx+dy) F(x,y)=0 ® édx - by , -cx + ay ù                 ëad - bc    ad - bc û Prinsipnya adalah mencari matriks invers dari matriks transformasi yang diketahui.